При нажатии на кнопку содержимое строки дописывается к концу файла и счетчик увеличивается на 1.

По окончании работы программы проверить содержимое сохраненного(-ых) файла(-ов).

Дополнительная информация:

• Текстовые файлы имеют в Delphi тип TextFile, а не Text.
• Сопоставление файловой переменной с именем файла в Delphi производится с помощью процедуры AssignFile, а не Assign.
• Закрытие файла в Delphi производится с помощью процедуры CloseFile, а не Close.
• Перевод целых числовых значений в строковые и обратно может быть произведен с помощью стандартных  паскалевских процедур Val и Str, а также с помощью двух функций модуля SysUtils:
       function IntToStr(Value: Integer): string;
       function StrToInt(const S: string): Integer;